根式有理化

根式有理化

问题来源

初中的时候曾经做过一道题, 题目具体是什么记不起来了. 记得最后发现用三角函数和用勾股定理得到的答案竟然不相同!

用三角函数计算得到的答案:
$$
\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}
$$
而用勾股定理开方算出来的是
$$
\sqrt{3+\sqrt{5}}
$$
当时考完听说有两答案还不信, 觉得是别人算错了, 结果自己一算还真是两个答案. 按计算器化简不出来, 但是求出估计值是一样的. 后面老师讲题也说其实两个都对, 这… 到底是为什么?

于是又去认真化了一下, 发现

$$ \begin{align*} \sqrt{3+\sqrt{5}}=&\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}} \\ =&\sqrt{\frac{(\sqrt{5}+1)^2}{2}} \\ =&\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}} \\ =&\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} \end{align*} $$

其实在这之前已经有遇到类似的例子, 比如

$$
\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1
$$
这些情况往往都一下子就看出来了, 为什么这道题却栽了跟头? 最主要的可能就是需要上下同乘 $2$ 才能比较直观地看出来可以配方. 所以觉得是不是当配不出来的时候就要上下同乘继续观察呢? 再看这个例子:
$$
\sqrt{5+\sqrt{3}}
$$
能不能化简出来呢? 读者可以试一下, 但是可以发现这个尝试是无休止的. 但是还是不能说就不能.

思考与解决

所以接下来想的就是, 到底能不能有一个方法来判定能不能化简, 那么就可以省去许多尝试的时间. 所以我们需要建立一个一般情况的模型:
$$
\sqrt{x+\sqrt{y}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}
$$
其中 $a,b$ 不为根式, 求 $x,y$ 需要满足的条件. 为了更好地进行下一步分析, 我们再做一些处理.

对于 $\sqrt{2-\sqrt{3}}$, 由于其是 $\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ 可知能够化简. 也就是说对于任何的根式套根式, 必定能够利用通分, 化为
$$
\frac{\sqrt{x\pm\sqrt{y}}}{\sqrt{z}}
$$
其中 $x,y,z$ 均为正整数. $\sqrt{z}$ 显然不会影响化简, 所以问题等价于
$$
\sqrt{x\pm\sqrt{y}}
$$
能否化简, 以分式类比, 我称其为"根式有理化". 接下来进行我们的分析:

注意到: 如果有 $\sqrt{x+\sqrt{y}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$, 那么显然有 $\sqrt{x-\sqrt{y}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$. (记 $a>b$)这对称性能不能带来帮助呢? 将其平方并写在一起进行观察:

$$ \begin{gather} x+\sqrt{y}=a+b+2\sqrt{ab}\\ x-\sqrt{y}=a+b-2\sqrt{ab} \end{gather} $$

(1)+(2) 得
$$
a+b=x
$$
(1)-(2) 得
$$
ab=\frac{y}{4}
$$
也就是说, $a,b$ 是方程
$$
z^2-xz+\frac{y}{4}=0
$$
的两个根, 由于 $a,b$ 均为正整数, 故
$$
\sqrt{\Delta}=\sqrt{x^2-y}
$$
必须为某个正整数 $N$, 也即 $x^2-y=N^2$ 是一个完全平方数. 至此已经得到了可以根式有理化的必要条件. 实际上, 这个条件不只是必要. 因为 $\Delta$ 确定了, 其实两根 $a,b$ 也就确定了:
$$
\begin{cases}
a=\frac{x+N}{2} \
b=\frac{x-N}{2}
\end{cases}
$$
至此完全地解决了这个问题.

在此说一下一些初次尝试的人会犯的错, 比如
$$
\sqrt{\sqrt{13}-3}
$$
因为 $13-9=4$ 是完全平方数, 所以可以根式有理化? 这是不行的, 一定是带根号的比较小, 注意前面我们的证明.

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