ODE常微分方程的微分算子法(1)

ODE常微分方程的微分算子法(1)

常微分方程的微分算子法

定义

定义微分算子符号 $D^n=\frac{d^n}{dx^n}$,则二阶线性微分方程
$$
y’’+Ay’+By=f(x)
$$
可以写成
$$
(D^2+AD+B)y=f(x)
$$
记多项式 $P(x)=x^2+Ax+B$,则又可以写成
$$
P(D)y=f(x)
$$

指数型

代换法则

描述

$$
P(D)e^{\alpha x}=P(\alpha)e^{\alpha x}
$$
$\alpha$ 为复数.

证明

显然等价于证明
$$
D^n e^{\alpha x}=\alpha^n e^{\alpha x}
$$
而这是显然的.

指数输入定理

描述

若 $P(D)y=e^{\alpha x}$,则
$$
y_p=\frac{e^{\alpha x}}{P(\alpha)}(while\ P(\alpha)\neq0)
$$
其中 $y_p$ 表示一个特解.

证明

只需讲 $y_p$ 代入验证是方程的解即可,由代换法则

$$ \begin{align*} P(D)y_p=&P(D)\frac{e^{\alpha x}}{P(\alpha)}\\ =&\frac{P(\alpha)e^{\alpha x}}{P(\alpha)}\\ =&e^{\alpha x} \end{align*} $$

证毕.

例题

求微分方程
$$
y’’-y’+2y=10e^{-x}\sin x
$$
解:

先将方程复化
$$
(D^2-D+2)\tilde{y}=10e^{(-1+i)x}
$$
方程特解 $y_p$ 即为 $\tilde{y}_p$ 的虚部,由指数输入定理

$$ \begin{align*} \tilde y_p&=\frac{10e^{(-1+i)x}}{(-1+i)^2-(-1+i)+2}\\ &=\frac{10e^{(-1+i)x}}{-2i+1-i+2}\\ &=\frac{10e^{-x}(\cos x+i\sin x)}{3-3i}\\ &=\frac{10}{6}(1+i)e^{-x}(\cos x+i\sin x)\\ \end{align*} $$

因此,$y_p=$
$$
\frac{5}{3}e^{-x}(\sin x+\cos x)
$$
那么如果 $p(\alpha)=0$ 呢?

指数移位法则

为与上面的情况区分,下面不再写 $\alpha$ 而是 $a$,但是 $a$ 仍然可以是复数.

描述

$$
P(D)e^{ax}u(x)=e^{ax}P(D+a)u(x)
$$

证明

利用数学归纳法并且与代换法则相同,等价于证明单个算子的情况,即
$$
D^ne^{ax}u(x)=e^{ax}(D+a)^n u(x)
$$
在不引起歧义的前提下,下面将 $u(x)$ 写成 $u$ 而不影响理解.

(1)当 $n=1$ 时
$$
D e^{ax}u=ae^{ax}u+e^{ax}Du=e^{ax}(D+a)u
$$
所以当 $n=1$ 时该法则正确.

(2)当 $n=k-1$ 时成立

$$ \begin{align*} D^ke^{ax}u&=D(D^{k-1}e^{ax}u)\\ &=D(e^{ax}(D+a)^{k-1}u)\\ &=e^{ax}(D+a)^ku \end{align*} $$

证毕.

一般性结论

首先来看二阶微分方程.

单根

若 $P(a)=0$ 且 $a$ 是单根,则有

$$
y_p=\frac{xe^{ax}}{P’(a)}
$$

证明

因为 $a$ 是 $P(D)$ 的一个根,所以可以设
$$
P(D)=(D-a)(D-b) (a\neq b)
$$
因此
$$
P’(D)=D-a+D-b
$$
也即
$$
P’(a)=a-b
$$
代入以检验解 $y_p$ 的正确性
$$
P(D)\frac{e^{ax}x}{P’(a)}=\frac{e^{ax}(D-b-a)Dx}{P’(a)}=\frac{e^{ax}(a-b)}{(a-b)}=e^{ax}
$$
证毕.

二重根

若 $a$ 是二重根,则有

$$
y_p=\frac{x^2e^{ax}}{P’’(a)}
$$

证明与前一种类似,设 $P(D)=(D-a)^2$ 进行检验即可.

例题


$$
y’’-3y+2y=e^x
$$
的特解.

解:
$$
P(D)=D^2-3D+2
$$
$a=1$ 是单根(一重根),所以
$$
y_p=\frac{xe^x}{P’(1)}=\frac{xe^{x}}{2-3}=-xe^x
$$

更一般方程和 $n$ 重根

由前面两个例子,其实可以猜出:

当 $a$ 是 $n$ 重根时

$$
y_p=\frac{e^{ax}x^n}{P^{(n)}(a)}
$$

其实将 $P(D)$ 理解为 $P^{(0)}(D)$,则上述结论为一般性结论,适用于任何情况.

证明

和前面的思路其实类似,关键在于怎么表示 $P(D)$ 已提取对我们最有利的部分.


$$
P(D)=(D-a)^n \tilde{P}(D)
$$

$$
P^{(n)}(D)=n!\tilde P(D)+(D-a)A(D)
$$
其中,$A(D)$ 是关于 $D$ 的多项式,可以看出来
$$
P^{(n)}(a)=n!\tilde P(a)
$$
将 $y_p$ 代入方程检验

$$ \begin{align*} P(D)\frac{e^{ax}x^n}{P^{(n)(a)}}=&\frac{e^{ax}P(D+a)x^n}{P^{(n)}(a)}\\ =&\frac{e^{ax}\tilde P(D+a)D^n x^n}{n! \tilde P(a)}\\ =&\frac{e^{ax}\tilde P(D+a)\times n!}{n! \tilde P(a)}\\ =&\frac{e^{ax}\tilde P(a)\times n!}{n! \tilde P(a)}\\ =&e^{ax} \end{align*} $$

结语

在网上可以找到的算子法本就少之又少,大部分又只重结论,云里雾里,还需要多记很多麻烦的情况.例如三角函数,但是实际上只需要将三角函数复化就可以用指数的形式轻松解决,最后其实就只有一个公式.这次先谈到这,读者可以再多思考并做一些练习尝试,下次我再介绍 $f(x)$ 为多项式的情况.

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