卷积: 变换与反演

卷积: 变换与反演

数论函数

在全体正整数(或全体整数)上定义的函数称作数论函数.

常见的数论函数

  1. 常数函数 $u(n)=1, n\geq 1$
  2. 恒等函数 $e_k(n)=n^k, n\geq 1$
  3. 单位函数 $I(n)=[n=1]$
  4. $n$ 的因数个数除数函数: $d(n)=\sum_{d\mid n}1$
  5. $n$ 的全部素因子个数:

$$
\Omega(n)=\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_k,n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_{k}^{\alpha_k}
$$

  1. $n$ 的不同素因子个数:

$$
\omega{(n)}=k, n =p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_{k}^{\alpha_k}
$$

  1. $n$ 的正除数的幂和函数 $\sigma_\lambda(n)$:

$$
\sigma_\lambda(n)=\sum_{d\mid n}d^{\lambda}
$$

  1. 欧拉函数:

$$
\varphi(n)=\sum_{d=1}^n [gcd(d, n)=1]
$$

  1. 莫比乌斯($M\ddot{o}bius$)函数:
$$ \mu(n)= \begin{cases} 1, n=1\\ (-1)^s, n = p_1p_2\ldots p_s\\ 0, others\\ \end{cases} $$
  1. $Liouville$ 函数:

$$
\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)}
$$

卷积

定义运算 $*$ :

$$ (f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g(\frac{n}{d}) $$

称运算 $*$ 为卷积运算或者 Dirichlet 乘积.

代数性质

  1. 简单利用配对的思想即可证明 $*$ 具有交换律.
  2. 可以证明: $f*g*h=\sum_{abc=n}f(a)g(b)h(c)=f*(g*h)$ . 故其具有结合律.

另外容易发现有单位元 $I$ 使得:

$$ f*I=I*f=f $$

莫比乌斯变换

对于含有一个特殊函数常数函数 $u$ 的卷积:
$$
F(n)=(f*u)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)
$$
称 $F$ 为 $f$ 的莫比乌斯变换.

例如 $\mu$ 的莫比乌斯变换为:

$$ \sum_{d\mid n}\mu(d)= \begin{cases} 1, n=1\\ 0, n>1 \end{cases} $$

证明可以利用其只有单素数相乘的因子进行简单讨论得到. 特别的, $d(n)$ 是 $u(n)$ 的莫比乌斯变换.

另外可以看到:
$$
I=\mu * u
$$
也就是说 $u$ 是 $\mu$ 的逆元. 事实上可以证明, 所有数论函数在所有数论函数构成的集合 $G$ 中都能找到其逆元. 也就是 $(G, *)$ 实际上构成了一个 Abel 群. 由上一个等式, 我们可以引出另一种变换, 也就是莫比乌斯反变换, 或称为莫比乌斯反演:

$$ F=f*u\Rightarrow f=F*\mu $$

利用前文所述性质即可简单证明.

我们知道:
$$
n=\sum_{d\mid n}\varphi(d)
$$
故 $e$ 是 $\varphi$ 的莫比乌斯变换, 换言之: $\varphi = e*\mu$.

积性函数

若数论函数满足:
$$
f(mn)=f(m)f(n),(m, n)=1
$$
称 $f$ 为积性函数或者可乘函数. 特别的, 若可以没有 $(m,n)=1$ 这一条件则成为完全积性函数.

性质

  1. $f(1)=1$.
  2. $f(n)=f(p_1^{\alpha_1})f(p_2^{\alpha_2})\ldots f(p_{s}^{\alpha_s})$.
  3. $f$ 的莫比乌斯变换仍为积性函数.
  4. 若 $g$ 也为积性函数, 则 $f*g$ 也为积性函数.
  5. 积性函数逆元亦为积性函数.

常见的 $\mu,d,\varphi$ 都是积性函数.

注意: 积性函数和加性函数很多都能利用线性筛或者其他筛法在线性或者更优时间内计算前缀和. 这为解决一些看似困难的问题提供的新的方法.

贝尔级数

贝尔级数可以帮我们计算各种乱七八糟的积性函数卷起来是什么函数.

定义数论函数 $f$ 在模素数 $p$ 意义下的贝尔级数:
$$
f_p(x)=\sum_{i=0}^{\infty}f(p^i)x^i
$$
特别的, 对于完全积性函数 $f$, 有:

$$ \begin{align*} f_p(x)&=\sum_{i=0}^{\infty}f(p^i)x^i\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}f^i(p)x^i\\ &=\frac{1}{1-f(p)x} \end{align*} $$

注意此处我们不考虑其级数收敛性而假设其进行计算, 是为了利用下面的结论而帮助我们进行问题的分析和简化. 这让我们关注到了更本质的东西.

则有:
$$
(f*g)_p=f_p\times g_p
$$
就像 $Laplace$ 变换一样, 可以把卷积变成多项式的乘法, 对于某些问题的分析研究是有利的.

证明: 由前面的性质2可以知道只需要证明 $n=p^k$ 上述等式始终成立即可.

$$ \begin{align*} (f*g)_p(x)&=\sum_{i=0}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^{i}f(p^i)g(p^{i-j})\right)x^i\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}f(p^i)x^i\sum_{j=0}^{\infty}f(p^j)x^j\\ &=(f_p\times g_p)(x) \end{align*} $$

常见函数的贝尔级数

  • $\mu_p(x)=1-x$
  • $e_p(x)=\frac{1}{1-px}$
  • $\varphi_p(x)=(\mu_p\times e_p)(x)\frac{1-x}{1-px}$
  • $u_p(x)=\frac{1}{1-x}$

由 $\mu_p\times u_p=1$ 可以发现, 互为逆的两个数论函数的贝尔级数相乘恰好是 $1$.

莫比乌斯反演例题

其实这些叫做反演的题目没看出来用到了什么反演… 我只觉得用到了数论函数的一些性质.

莫比乌斯反演主要在对式子进行化简, 已达到类似如下的形式:
$$
\sum_{i=1}^n F(n/i)S(i)
$$
前者是与 $n/i$ 相关的函数, 可以利用数论分块进行处理, 后者一般是一个积性函数(或者加性), 因为积性函数往往可以通过线性时间预处理前缀和或者利用特殊方法(杜教筛, min_25筛)来快速计算前缀和.

[HAOI2011]Problem b

LCMSUM

[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB

此题 OI wiki 上给的方法是用数论分块套数论分块. 其实可以只用一次. 我最后推出的式子是:
$$
\sum_{t=1}^{n}S(\frac{n}{t})S(\frac{m}{t})\sum_{u\mid t}u^2\mu(u)\frac{t}{u}
$$
其中 $S(n)=1+2+\ldots+n$. 后面是一个卷积, 并且两个函数都是积性函数, 最后卷出来也是积性函数, 然后利用贝尔级数容易得到线性筛预处理出前缀和的方法.

其贝尔级数为:
$$
1+(p-p^2)x+(p^2-p^3)x^2+\ldots
$$
所以素数就是 $p-p^2$. 如果是有一个素因子重复, 只需要乘 $p$ 就行了. 但是复杂度不变就是了.

「SDOI2015」约数个数和

简单的数学题

A Very Easy Math Problem

前面题目都是 OI wiki 上的例题, 就不多说了, 自己推推式子. 这题稍微化简一下得到:
$$
\sum_{t=1}^nS(\frac{n}{t})t^{kx}\sum_{u\mid t}{\mu(u)\left(\mu^2(\frac{t}{u})\cdot \frac{t}{u}\right)}
$$
其中 $S(n)=(\sum_{i=1}^n i^k)^x$. 后面显然又是两个积性函数相乘, 其贝尔级数为:
$$
f_p(x)=1+(p-1)x-px^2
$$
当然因为这题要快速幂, 所以不做这个优化也无所谓, 直接 $O(n\log n)$ 预处理卷积就行了.

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#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

const int MOD = 1e9 + 7;
const int MAX_N = 2e5 + 7;
int pri[MAX_N], mu[MAX_N], s[MAX_N];
bool vis[MAX_N];
int T, k, x, n, cnt, ans;

void Euler(int n) {
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
if (!vis[i]) {
pri[++cnt] = i;
mu[i] = -1;
}
for (int j = 1; j <= cnt && i * pri[j] <= n; ++j) {
vis[i * pri[j]] = true;
if (i % pri[j] == 0) {
mu[i * pri[j]] = 0;
break;
}
mu[i * pri[j]] = -mu[i];
}
}
}

int f_pow(int base, int b, int mod = MOD) {
int res = 1;
while (b) {
if (b & 1) res = res * base % mod;
base = base * base % mod;
b >>= 1;
}
return res;
}

void init(int n) {
Euler(n);
for (int i = 1; i <= n; ++i) s[i] = (s[i - 1] + f_pow(i, k)) % MOD;
for (int i = 1; i <= n; ++i) s[i] = f_pow(s[i], x);
memset(pri, 0, sizeof pri);
for (int u = 1; u <= n; ++u) {
for (int t = u; t <= n; t += u) {
pri[t] = (pri[t] + mu[u] * mu[t / u] * mu[t / u] * t / u) % MOD;
}
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) pri[i] = (pri[i] * f_pow(i, (k * x) % (MOD - 1)) % MOD + pri[i - 1]) % MOD;
}

signed main() {
scanf("%lld%lld%lld", &T, &k, &x);
init(2e5);
while (T--) {
scanf("%lld", &n);
ans = 0;
for (int i = 1, j; i <= n; i = j + 1) {
j = n / (n / i);
ans = (ans + s[n / i] * (pri[j] - pri[i - 1]) % MOD) % MOD;
}
printf("%lld\n", (ans + MOD) % MOD);
}
return 0;
}

参考资料

评论

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