取值范围

取值范围

题目

函数 $f(x)=\sqrt{2x-x^2}+x$ 的值域为____.


思考ing…


分析与解答

解法一 三角换元

注意到
$$
\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{1-(x-1)^2}
$$
所以设 $x-1=\sin \alpha(\alpha\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])$,则 $f(x)=\cos\alpha+(1+\sin\alpha)$.于是

$$ \begin{align*} f(x)&=1+\sin\alpha+\cos\alpha\\ &=1+\sqrt{2}\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})\\ &\in[0,\sqrt{2}+1] \end{align*} $$

解法二 柯西不等式

因为
$$
1-(x-1)^2\geq0\Rightarrow x\in[0,2]
$$
所以 $f(x)\geq 0$,并且注意到,当 $x=0$ 时
$$
f(1)=0
$$
即 $f(x)$ 最小值为 $0$.

另一方面,由柯西不等式

$$ \begin{align*} f(x)&=\sqrt{1-(x-1)^2}+x-1+1\\ &\leq\sqrt{(1-(x-1)^2+(x-1)^2)(1+1)}+1\\ &=\sqrt{2}+1 \end{align*} $$

题外话

对于有根式和正常多项式的问题,三角和柯西不等式往往都能解决.可以权衡一下,找到更适合自己的方法.

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