简单的偏微分方程(练习题)

简单的偏微分方程(练习题)

例题

已知微分方程
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0
$$
有形如 $u=\varphi(\frac{y}{x})$ 的解,试求此解.

因为

$$ \begin{align*} &\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}\varphi'\\ &\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=2\frac{y}{x^3}\varphi'+\frac{y^2}{x^4}\varphi''\\ &\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{x}\varphi'\\ &\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{1}{x^2}\varphi'' \end{align*} $$

得到
$$
2\frac{y}{x^3}\varphi’+\frac{y^2}{x^4}\varphi’’+\frac{1}{x^2}\varphi’’=0
$$
很明显,两边同乘 $x^2$ 并令 $t=\frac{y}{x}$ 即可化为常微分方程
$$
2t\varphi’+(t^2+1)\varphi’’=0
$$
这是一个一阶齐次线性微分方程,其实可以看出
$$
[(t^2+1)\varphi’]’=0
$$
于是
$$
\varphi’=\frac{C_1}{t^2+1}
$$
进一步积分得到
$$
\varphi=C_1\arctan{\frac{y}{x}}+C_2
$$

例题

设 $u=u(\sqrt{x^2+y^2})$ 具有连续二阶偏导数,且满足
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{1}{x}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+u=x^2+y^2
$$
求 $u$.

同样的计算 $u$ 的偏导数及二阶偏导数,并令 $t=\sqrt{x^2+y^2}$ 将其化为常微分方程得:
$$
u’’+u=t^2
$$
其齐次通解为
$$
C_1\cos t+C_2\sin t
$$
容易求得一个特解
$$
y_p=t^2-2
$$
将 $t=\sqrt{x^2+y^2}$ 代入即可.

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